{l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29} шешу

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$10x+2y=-78$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$10x=-2y-78$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

\frac{1}{10} санын -2y-78 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-39}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

-3 санын \frac{-y-39}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

\frac{3y}{5} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{117}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{262}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5} теңдеуінде \frac{262}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{262}{7} санын -\frac{1}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{39}{5} бөлшегіне -\frac{262}{35} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

10x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -30x-20y=-290 мәнін -30x-6y=234 мәнінен алып тастаңыз.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

-30x санын 30x санына қосу. -30x және 30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y+20y=234+290$$

-6y санын 20y санына қосу.

$$14y=234+290$$

234 санын 290 санына қосу.

$$14y=524$$

Екі жағын да 14 санына бөліңіз.

$$y=\frac{262}{7}$$

-3x-2y=-29 теңдеуінде \frac{262}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

-2 санын \frac{262}{7} санына көбейтіңіз.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{524}{7} санын қосыңыз.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$