{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} шешу

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін 1+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 мәнін алу үшін, 3 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$x+2y=4+3y$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+2y-3y=4$$

2y және -3y мәндерін қоссаңыз, -y мәні шығады.

$$x-y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8-y=2-2y+3x$$

Екі жағына 2y қосу.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y және 2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$8+y=2+3x$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$8+y-3x=2$$

Екі жағынан да 8 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=2-8$$

-6 мәнін алу үшін, 2 мәнінен 8 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=4$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+4$$

Басқа теңдеуде y+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

-3 санын y+4 санына көбейтіңіз.

$$-3y-12+y=-6$$

-3y санын y санына қосу.

$$-2y-12=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$-2y=6$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

x=y+4 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3+4$$

4 санын -3 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін 1+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 мәнін алу үшін, 3 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$x+2y=4+3y$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+2y-3y=4$$

2y және -3y мәндерін қоссаңыз, -y мәні шығады.

$$x-y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8-y=2-2y+3x$$

Екі жағына 2y қосу.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y және 2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$8+y=2+3x$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$8+y-3x=2$$

Екі жағынан да 8 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=2-8$$

-6 мәнін алу үшін, 2 мәнінен 8 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 3 мәнін 1+y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 мәнін алу үшін, 3 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$x+2y=4+3y$$

Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+2y-3y=4$$

2y және -3y мәндерін қоссаңыз, -y мәні шығады.

$$x-y=4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. 2 мәнін 1-y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$8-y=2-2y+3x$$

Екі жағына 2y қосу.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y және 2y мәндерін қоссаңыз, y мәні шығады.

$$8+y=2+3x$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$8+y-3x=2$$

Екі жағынан да 8 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=2-8$$

-6 мәнін алу үшін, 2 мәнінен 8 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Қысқартыңыз.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3x+y=-6 мәнін -3x+3y=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

-3x санын 3x санына қосу. -3x және 3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-y=-12+6$$

3y санын -y санына қосу.

$$2y=-12+6$$

-12 санын 6 санына қосу.

$$2y=-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

-3x+y=-6 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x-3=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$-3x=-3$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-3$$