{l}{4x-2y=13}{-2x+2y=1} шешу

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 2 y = 13 }\\{ - 2 x + 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-2y=13$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$4x=2y+13$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+13\right)$$

\frac{1}{4} санын 2y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+\frac{13}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+2y=1.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{4}\right)+2y=1$$

-2 санын \frac{y}{2}+\frac{13}{4} санына көбейтіңіз.

$$-y-\frac{13}{2}+2y=1$$

-y санын 2y санына қосу.

$$y-\frac{13}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{13}{2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{15}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{4} теңдеуінде \frac{15}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{15}{2}+\frac{13}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{15}{2} санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{15+13}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{4} бөлшегіне \frac{15}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 13+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 13+1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-2y=13,-2x+2y=1$$

4x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 13,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4$$

Қысқартыңыз.

$$-8x+4y=-26,-8x+8y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x+8y=4 мәнін -8x+4y=-26 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8x+8x+4y-8y=-26-4$$

-8x санын 8x санына қосу. -8x және 8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-8y=-26-4$$

4y санын -8y санына қосу.

$$-4y=-26-4$$

-26 санын -4 санына қосу.

$$-4y=-30$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{15}{2}$$

-2x+2y=1 теңдеуінде \frac{15}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+2\times \frac{15}{2}=1$$

2 санын \frac{15}{2} санына көбейтіңіз.

$$-2x+15=1$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-2x=-14$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=\frac{15}{2}$$