{l}{2x-y=4}{y=x+3} шешу

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=3$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-y=4$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$2x=y+4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2} санын y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{2}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

-1 санын \frac{y}{2}+2 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

-\frac{y}{2} санын y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=10$$

x=\frac{1}{2}y+2 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

\frac{1}{2} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=5+2$$

2 санын 5 санына қосу.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=3$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=3$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

2x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+2y=6 мәнін -2x+y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-2y=-4-6$$

y санын -2y санына қосу.

$$-y=-4-6$$

-4 санын -6 санына қосу.

$$-y=-10$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=10$$

-x+y=3 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+10=3$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$-x=-7$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=10$$