{l}{-2x-3y=7}{-13x+20y=322} шешу

$$\left. \begin{array}{l}{ - 2 x - 3 y = 7 }\\{ - 13 x + 20 y = 322 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-14$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x-3y=7$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$-2x=3y+7$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

-\frac{1}{2} санын 3y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -13x+20y=322.

$$-13\left(-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}\right)+20y=322$$

-13 санын \frac{-3y-7}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{39}{2}y+\frac{91}{2}+20y=322$$

\frac{39y}{2} санын 20y санына қосу.

$$\frac{79}{2}y+\frac{91}{2}=322$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{91}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{79}{2}y=\frac{553}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{79}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7-\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-21-7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{2} бөлшегіне -\frac{21}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{-3}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\\-\frac{-13}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{2}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}&-\frac{3}{79}\\-\frac{13}{79}&\frac{2}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}\times 7-\frac{3}{79}\times 322\\-\frac{13}{79}\times 7+\frac{2}{79}\times 322\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-14,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

-2x және -13x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -13 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$-13\left(-2\right)x-13\left(-3\right)y=-13\times 7,-2\left(-13\right)x-2\times 20y=-2\times 322$$

Қысқартыңыз.

$$26x+39y=-91,26x-40y=-644$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 26x-40y=-644 мәнін 26x+39y=-91 мәнінен алып тастаңыз.

$$26x-26x+39y+40y=-91+644$$

26x санын -26x санына қосу. 26x және -26x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$39y+40y=-91+644$$

39y санын 40y санына қосу.

$$79y=-91+644$$

-91 санын 644 санына қосу.

$$79y=553$$

Екі жағын да 79 санына бөліңіз.

$$y=7$$

-13x+20y=322 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-13x+20\times 7=322$$

20 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$-13x+140=322$$

Теңдеудің екі жағынан 140 санын алып тастаңыз.

$$-13x=182$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=7$$