{r}{m+s=105}{4m+s=300} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { m + s = 105 } \\ { 4 m + s = 300 } \end{array} \right.$$

m, s мәнін табыңыз

$$s=40$$

$$m=65$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$m+s=105,4m+s=300$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$m+s=105$$

Теңдеудің екі жағынан s санын алып тастаңыз.

$$m=-s+105$$

Басқа теңдеуде -s+105 мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 4m+s=300.

$$4\left(-s+105\right)+s=300$$

4 санын -s+105 санына көбейтіңіз.

$$-4s+420+s=300$$

-4s санын s санына қосу.

$$-3s+420=300$$

Теңдеудің екі жағынан 420 санын алып тастаңыз.

$$-3s=-120$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$s=40$$

m=-s+105 теңдеуінде 40 мәнін s мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-40+105$$

105 санын -40 санына қосу.

$$m=65$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=65,s=40$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$m+s=105,4m+s=300$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{1}{1-4}\\-\frac{4}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\300\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 105+\frac{1}{3}\times 300\\\frac{4}{3}\times 105-\frac{1}{3}\times 300\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}65\\40\end{matrix}\right)$$

m және s матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=65,s=40$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$m+s=105,4m+s=300$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4m+s=300 мәнін m+s=105 мәнінен алып тастаңыз.

$$m-4m+s-s=105-300$$

s санын -s санына қосу. s және -s мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$m-4m=105-300$$

m санын -4m санына қосу.

$$-3m=105-300$$

105 санын -300 санына қосу.

$$-3m=-195$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$m=65$$

4m+s=300 теңдеуінде 65 мәнін m мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, s мәнін тікелей таба аласыз.

$$4\times 65+s=300$$

4 санын 65 санына көбейтіңіз.

$$260+s=300$$

Теңдеудің екі жағынан 260 санын алып тастаңыз.

$$s=40$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=65,s=40$$