{r}{8x+y=21}{24x-5y=23} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+y=21$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$8x=-y+21$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8} санын -y+21 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+21}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24 санын \frac{-y+21}{8} санына көбейтіңіз.

$$-3y+63-5y=23$$

-3y санын -5y санына қосу.

$$-8y+63=23$$

Теңдеудің екі жағынан 63 санын алып тастаңыз.

$$-8y=-40$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{21}{8} бөлшегіне -\frac{5}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

8x және 24x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 24 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Қысқартыңыз.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 192x-40y=184 мәнін 192x+24y=504 мәнінен алып тастаңыз.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

192x санын -192x санына қосу. 192x және -192x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$24y+40y=504-184$$

24y санын 40y санына қосу.

$$64y=504-184$$

504 санын -184 санына қосу.

$$64y=320$$

Екі жағын да 64 санына бөліңіз.

$$y=5$$

24x-5y=23 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$24x-5\times 5=23$$

-5 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$24x-25=23$$

Теңдеудің екі жағына да 25 санын қосыңыз.

$$24x=48$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=5$$