{r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+2y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$7x=-2y+24$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

\frac{1}{7} санын -2y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+24}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

-8 санын \frac{-2y+24}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

\frac{16y}{7} санын 2y санына қосу.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{192}{7} санын қосыңыз.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{30}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} теңдеуінде -\frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{3}{5} санын -\frac{2}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{24}{7} бөлшегіне \frac{6}{35} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{18}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x+2y=-30 мәнін 7x+2y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7x+8x=24+30$$

7x санын 8x санына қосу.

$$15x=24+30$$

24 санын 30 санына қосу.

$$15x=54$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$x=\frac{18}{5}$$

-8x+2y=-30 теңдеуінде \frac{18}{5} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

-8 санын \frac{18}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{144}{5} санын қосыңыз.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$