{r}{5x+y=17}{x+y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + y = 17 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=17,x+y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=17$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y+17$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+17\right)$$

\frac{1}{5} санын -y+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+17}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=3.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}+y=3$$

-\frac{y}{5} санын y санына қосу.

$$\frac{4}{5}y+\frac{17}{5}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{17}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{4}{5}y=-\frac{2}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5} теңдеуінде -\frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{17}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{2} санын -\frac{1}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{10}+\frac{17}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{17}{5} бөлшегіне \frac{1}{10} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=17,x+y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-1}&-\frac{1}{5-1}\\-\frac{1}{5-1}&\frac{5}{5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 17-\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{1}{4}\times 17+\frac{5}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=17,x+y=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+y=3 мәнін 5x+y=17 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-x+y-y=17-3$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5x-x=17-3$$

5x санын -x санына қосу.

$$4x=17-3$$

17 санын -3 санына қосу.

$$4x=14$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{7}{2}$$

x+y=3 теңдеуінде \frac{7}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{7}{2}+y=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{2} санын алып тастаңыз.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{1}{2}$$