{r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=12$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2y}{3} санын алып тастаңыз.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

\frac{1}{5} санын -\frac{2y}{3}-12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

Басқа теңдеуде -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -6x-\frac{1}{3}y=20.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

-6 санын -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

\frac{4y}{5} санын -\frac{y}{3} санына қосу.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{72}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{15} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=12$$

x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5} теңдеуінде 12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

-\frac{2}{15} санын 12 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{12}{5} бөлшегіне -\frac{8}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=12$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=12$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

5x және -6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

Қысқартыңыз.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -30x-\frac{5}{3}y=100 мәнін -30x-4y=72 мәнінен алып тастаңыз.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

-30x санын 30x санына қосу. -30x және 30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

-4y санын \frac{5y}{3} санына қосу.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

72 санын -100 санына қосу.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=12$$

-6x-\frac{1}{3}y=20 теңдеуінде 12 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

-\frac{1}{3} санын 12 санына көбейтіңіз.

$$-6x-4=20$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$-6x=24$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=12$$