{r}{22x+3y=5}{3x+2y=70} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$22x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$22x=-3y+5$$

Екі жағын да 22 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{22} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+5}{22} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

3 санын \frac{-3y+5}{22} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

-\frac{9y}{22} санын 2y санына қосу.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{22} санын алып тастаңыз.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{35}{22} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{305}{7}$$

x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22} теңдеуінде \frac{305}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{305}{7} санын -\frac{3}{22} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{22} бөлшегіне -\frac{915}{154} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

22x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 22 санына көбейтіңіз.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Қысқартыңыз.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 66x+44y=1540 мәнін 66x+9y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

66x санын -66x санына қосу. 66x және -66x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-44y=15-1540$$

9y санын -44y санына қосу.

$$-35y=15-1540$$

15 санын -1540 санына қосу.

$$-35y=-1525$$

Екі жағын да -35 санына бөліңіз.

$$y=\frac{305}{7}$$

3x+2y=70 теңдеуінде \frac{305}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

2 санын \frac{305}{7} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{610}{7} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$