{r}{2x+3y=7}{5x+2y=1} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 7 } \\ { 5 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=7$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+7$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+2y=1.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)+2y=1$$

5 санын \frac{-3y+7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{35}{2}+2y=1$$

-\frac{15y}{2} санын 2y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{35}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{2} бөлшегіне -\frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 2-3\times 5}&\frac{2}{2\times 2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{3}{11}\\\frac{5}{11}\times 7-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=7,5x+2y=1$$

2x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 7,2\times 5x+2\times 2y=2$$

Қысқартыңыз.

$$10x+15y=35,10x+4y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+4y=2 мәнін 10x+15y=35 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+15y-4y=35-2$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-4y=35-2$$

15y санын -4y санына қосу.

$$11y=35-2$$

35 санын -2 санына қосу.

$$11y=33$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=3$$

5x+2y=1 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+2\times 3=1$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$5x+6=1$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$5x=-5$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=3$$