{r}{2x+3y=-9}{x-y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = - 9 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=-9$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y-9$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-9\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y-9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=3.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}-y=3$$

-\frac{3y}{2} санын -y санына қосу.

$$-\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{2} санын қосыңыз.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{9}{2} теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{9}{2}$$

-\frac{3}{2} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9-9}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{9}{2} бөлшегіне \frac{9}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\left(-9\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=-9,x-y=3$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+3y=-9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$2x+3y=-9,2x-2y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-2y=6 мәнін 2x+3y=-9 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+3y+2y=-9-6$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+2y=-9-6$$

3y санын 2y санына қосу.

$$5y=-9-6$$

-9 санын -6 санына қосу.

$$5y=-15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

x-y=3 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-3\right)=3$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=-3$$