{r}{12x+3y=5}{3x+2y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$12x+3y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$12x=-3y+5$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12} санын -3y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

3 санын -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

-\frac{3y}{4} санын 2y санына қосу.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{23}{5}$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} теңдеуінде \frac{23}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{23}{5} санын -\frac{1}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{12} бөлшегіне -\frac{23}{20} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

12x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12 санына көбейтіңіз.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 36x+24y=84 мәнін 36x+9y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

36x санын -36x санына қосу. 36x және -36x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-24y=15-84$$

9y санын -24y санына қосу.

$$-15y=15-84$$

15 санын -84 санына қосу.

$$-15y=-69$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{23}{5}$$

3x+2y=7 теңдеуінде \frac{23}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

2 санын \frac{23}{5} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{46}{5} санын алып тастаңыз.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$