{r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$1.2x+3y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$1.2x=-3y+8$$

Теңдеудің екі жағын да 1.2 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

\frac{5}{6} санын -3y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-3y=10.

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

6 санын -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} санына көбейтіңіз.

$$-15y+40-3y=10$$

-15y санын -3y санына қосу.

$$-18y+40=10$$

Теңдеудің екі жағынан 40 санын алып тастаңыз.

$$-18y=-30$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-2.5y+\frac{20}{3} теңдеуінде \frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{3} санын -2.5 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{20}{3} бөлшегіне -\frac{25}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

\frac{6x}{5} және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1.2 санына көбейтіңіз.

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

Қысқартыңыз.

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7.2x-3.6y=12 мәнін 7.2x+18y=48 мәнінен алып тастаңыз.

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

\frac{36x}{5} санын -\frac{36x}{5} санына қосу. \frac{36x}{5} және -\frac{36x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y+3.6y=48-12$$

18y санын \frac{18y}{5} санына қосу.

$$21.6y=48-12$$

48 санын -12 санына қосу.

$$21.6y=36$$

Теңдеудің екі жағын да 21.6 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{5}{3}$$

6x-3y=10 теңдеуінде \frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

-3 санын \frac{5}{3} санына көбейтіңіз.

$$6x-5=10$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$6x=15$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$