{l}{y=5x-12}{y=x+16} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 12 } \\ { y = x + 16 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=23$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$y-5x=-12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=16$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-5x=-12,y-x=16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-5x=-12$$

Теңдеудің екі жағына да 5x санын қосыңыз.

$$y=5x-12$$

Басқа теңдеуде 5x-12 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-x=16.

$$5x-12-x=16$$

5x санын -x санына қосу.

$$4x-12=16$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$4x=28$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=7$$

y=5x-12 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=5\times 7-12$$

5 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$y=35-12$$

-12 санын 35 санына қосу.

$$y=23$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=23,x=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$y-5x=-12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=16$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-5x=-12,y-x=16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-5\right)}&\frac{1}{-1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-12\right)+\frac{5}{4}\times 16\\-\frac{1}{4}\left(-12\right)+\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\7\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=23,x=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5x мәнін қысқартыңыз.

$$y-5x=-12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да x мәнін қысқартыңыз.

$$y-x=16$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-5x=-12,y-x=16$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y-x=16 мәнін y-5x=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-5x+x=-12-16$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-5x+x=-12-16$$

-5x санын x санына қосу.

$$-4x=-12-16$$

-12 санын -16 санына қосу.

$$-4x=-28$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=7$$

y-x=16 теңдеуінде 7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-7=16$$

Теңдеудің екі жағына да 7 санын қосыңыз.

$$y=23$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=23,x=7$$