{l}{y=2x-40}{3x+y=1}quadtext{(2)}{l}{3x-5y=3}{x/2-y/3=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 40 } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right. \quad \text { (2) } \left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{41}{5} = 8\frac{1}{5} = 8.2$$

$$y = -\frac{118}{5} = -23\frac{3}{5} = -23.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-40$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-2x=-40$$

Теңдеудің екі жағына да 2x санын қосыңыз.

$$y=2x-40$$

Басқа теңдеуде -40+2x мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+3x=1.

$$2x-40+3x=1$$

2x санын 3x санына қосу.

$$5x-40=1$$

Теңдеудің екі жағына да 40 санын қосыңыз.

$$5x=41$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{41}{5}$$

y=2x-40 теңдеуінде \frac{41}{5} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2\times \frac{41}{5}-40$$

2 санын \frac{41}{5} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{82}{5}-40$$

-40 санын \frac{82}{5} санына қосу.

$$y=-\frac{118}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-40$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-40\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{118}{5}\\\frac{41}{5}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=-40$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+3x=1 мәнін y-2x=-40 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-2x-3x=-40-1$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2x-3x=-40-1$$

-2x санын -3x санына қосу.

$$-5x=-40-1$$

-40 санын -1 санына қосу.

$$-5x=-41$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{41}{5}$$

y+3x=1 теңдеуінде \frac{41}{5} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+3\times \frac{41}{5}=1$$

3 санын \frac{41}{5} санына көбейтіңіз.

$$y+\frac{123}{5}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{123}{5} санын алып тастаңыз.

$$y=-\frac{118}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$