{l}{y=2x+3}{y=-2x+5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 3 } \\ { y = - 2 x + 5 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-2x=3,y+2x=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-2x=3$$

Теңдеудің екі жағына да 2x санын қосыңыз.

$$y=2x+3$$

Басқа теңдеуде 2x+3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+2x=5.

$$2x+3+2x=5$$

2x санын 2x санына қосу.

$$4x+3=5$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$4x=2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}$$

y=2x+3 теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=2\times \frac{1}{2}+3$$

2 санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$y=1+3$$

3 санын 1 санына қосу.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-2x=3,y+2x=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=4,x=\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2x=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 2x қосу.

$$y+2x=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-2x=3,y+2x=5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+2x=5 мәнін y-2x=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-2x-2x=3-5$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2x-2x=3-5$$

-2x санын -2x санына қосу.

$$-4x=3-5$$

3 санын -5 санына қосу.

$$-4x=-2$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}$$

y+2x=5 теңдеуінде \frac{1}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+2\times \frac{1}{2}=5$$

2 санын \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$y+1=5$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=\frac{1}{2}$$