{l}{y=-x-7}{5y+3x=-13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=-11$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=-7$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+x=-7$$

Теңдеудің екі жағынан x санын алып тастаңыз.

$$y=-x-7$$

Басқа теңдеуде -x-7 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+3x=-13.

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

5 санын -x-7 санына көбейтіңіз.

$$-5x-35+3x=-13$$

-5x санын 3x санына қосу.

$$-2x-35=-13$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$-2x=22$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-11$$

y=-x-7 теңдеуінде -11 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

-1 санын -11 санына көбейтіңіз.

$$y=11-7$$

-7 санын 11 санына қосу.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=-11$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=-7$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=4,x=-11$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=-7$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

Қысқартыңыз.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5y+3x=-13 мәнін 5y+5x=-35 мәнінен алып тастаңыз.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

5y санын -5y санына қосу. 5y және -5y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5x-3x=-35+13$$

5x санын -3x санына қосу.

$$2x=-35+13$$

-35 санын 13 санына қосу.

$$2x=-22$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-11$$

5y+3x=-13 теңдеуінде -11 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

3 санын -11 санына көбейтіңіз.

$$5y-33=-13$$

Теңдеудің екі жағына да 33 санын қосыңыз.

$$5y=20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=-11$$