{l}{y=-1x+9}{5x-2y=18} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 1 x + 9 } \\ { 5 x - 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=9$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+x=9$$

Теңдеудің екі жағынан x санын алып тастаңыз.

$$y=-x+9$$

Басқа теңдеуде -x+9 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -2y+5x=18.

$$-2\left(-x+9\right)+5x=18$$

-2 санын -x+9 санына көбейтіңіз.

$$2x-18+5x=18$$

2x санын 5x санына қосу.

$$7x-18=18$$

Теңдеудің екі жағына да 18 санын қосыңыз.

$$7x=36$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{36}{7}$$

y=-x+9 теңдеуінде \frac{36}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{36}{7}+9$$

9 санын -\frac{36}{7} санына қосу.

$$y=\frac{27}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=9$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{1}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 18\\\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{36}{7}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына x қосу.

$$y+x=9$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+x=9,-2y+5x=18$$

y және -2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2y-2x=-2\times 9,-2y+5x=18$$

Қысқартыңыз.

$$-2y-2x=-18,-2y+5x=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2y+5x=18 мәнін -2y-2x=-18 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2y+2y-2x-5x=-18-18$$

-2y санын 2y санына қосу. -2y және 2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2x-5x=-18-18$$

-2x санын -5x санына қосу.

$$-7x=-18-18$$

-18 санын -18 санына қосу.

$$-7x=-36$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{36}{7}$$

-2y+5x=18 теңдеуінде \frac{36}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2y+5\times \frac{36}{7}=18$$

5 санын \frac{36}{7} санына көбейтіңіз.

$$-2y+\frac{180}{7}=18$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{180}{7} санын алып тастаңыз.

$$-2y=-\frac{54}{7}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{27}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{36}{7}$$