{l}{y=1/3x+6}{y=1/9x-1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 9 } x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{63}{2} = -31\frac{1}{2} = -31.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{x}{3} санын қосыңыз.

$$y=\frac{1}{3}x+6$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{3}+6 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-\frac{1}{9}x=-1.

$$\frac{1}{3}x+6-\frac{1}{9}x=-1$$

\frac{x}{3} санын -\frac{x}{9} санына қосу.

$$\frac{2}{9}x+6=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{9}x=-7$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{63}{2}$$

y=\frac{1}{3}x+6 теңдеуінде -\frac{63}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{1}{3}\left(-\frac{63}{2}\right)+6$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{63}{2} санын \frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{21}{2}+6$$

6 санын -\frac{21}{2} санына қосу.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{9}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{9}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{9}{2}&\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\left(-1\right)\\-\frac{9}{2}\times 6+\frac{9}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{9}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{9}x=-1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-\frac{1}{3}x=6,y-\frac{1}{9}x=-1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y-\frac{1}{9}x=-1 мәнін y-\frac{1}{3}x=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}x=6+1$$

-\frac{x}{3} санын \frac{x}{9} санына қосу.

$$-\frac{2}{9}x=6+1$$

6 санын 1 санына қосу.

$$-\frac{2}{9}x=7$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{63}{2}$$

y-\frac{1}{9}x=-1 теңдеуінде -\frac{63}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-\frac{1}{9}\left(-\frac{63}{2}\right)=-1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{63}{2} санын -\frac{1}{9} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y+\frac{7}{2}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{2} санын алып тастаңыз.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{63}{2}$$