{l}{y=1/2x-4}{y=-1/4x-1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 4 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}x қосу.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{x}{2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{1}{2}x-4$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{2}-4 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+\frac{1}{4}x=-1.

$$\frac{1}{2}x-4+\frac{1}{4}x=-1$$

\frac{x}{2} санын \frac{x}{4} санына қосу.

$$\frac{3}{4}x-4=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\frac{3}{4}x=3$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=4$$

y=\frac{1}{2}x-4 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{1}{2}\times 4-4$$

\frac{1}{2} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$y=2-4$$

-4 санын 2 санына қосу.

$$y=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-2,x=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}x қосу.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-2,x=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=-4$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{1}{4}x қосу.

$$y+\frac{1}{4}x=-1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-\frac{1}{2}x=-4,y+\frac{1}{4}x=-1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+\frac{1}{4}x=-1 мәнін y-\frac{1}{2}x=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=-4+1$$

-\frac{x}{2} санын -\frac{x}{4} санына қосу.

$$-\frac{3}{4}x=-4+1$$

-4 санын 1 санына қосу.

$$-\frac{3}{4}x=-3$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=4$$

y+\frac{1}{4}x=-1 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+\frac{1}{4}\times 4=-1$$

\frac{1}{4} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$y+1=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$y=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-2,x=4$$