{l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{x}{2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{2}+1 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

2 санын \frac{x}{2}+1 санына көбейтіңіз.

$$x+2+3x=-2$$

x санын 3x санына қосу.

$$4x+2=-2$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$4x=-4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

y=\frac{1}{2}x+1 теңдеуінде -1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

\frac{1}{2} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

1 санын -\frac{1}{2} санына қосу.

$$y=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{2}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y және 2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

Қысқартыңыз.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2y+3x=-2 мәнін 2y-x=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-x-3x=2+2$$

-x санын -3x санына қосу.

$$-4x=2+2$$

2 санын 2 санына қосу.

$$-4x=4$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

2y+3x=-2 теңдеуінде -1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$2y-3=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$2y=1$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$