{l}{y=-1/2x+6}{y=1/4x-5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { - 1 } { 2 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 5 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \approx 14.666666667$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. \frac{-1}{2} бөлшегіндегі теріс таңбаны алып тастап, оны -\frac{1}{2} түрінде қайта жазуға болады.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Басқа теңдеуде -\frac{x}{2}+6 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y-\frac{1}{4}x=-5.

$$-\frac{1}{2}x+6-\frac{1}{4}x=-5$$

-\frac{x}{2} санын -\frac{x}{4} санына қосу.

$$-\frac{3}{4}x+6=-5$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{4}x=-11$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{44}{3}$$

y=-\frac{1}{2}x+6 теңдеуінде \frac{44}{3} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}+6$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{44}{3} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{22}{3}+6$$

6 санын -\frac{22}{3} санына қосу.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. \frac{-1}{2} бөлшегіндегі теріс таңбаны алып тастап, оны -\frac{1}{2} түрінде қайта жазуға болады.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Екі жағына \frac{1}{2}x қосу.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{4}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{4}{3}\times 6-\frac{4}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{44}{3}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. \frac{-1}{2} бөлшегіндегі теріс таңбаны алып тастап, оны -\frac{1}{2} түрінде қайта жазуға болады.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Екі жағына \frac{1}{2}x қосу.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{4}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y-\frac{1}{4}x=-5 мәнін y+\frac{1}{2}x=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

\frac{x}{2} санын \frac{x}{4} санына қосу.

$$\frac{3}{4}x=6+5$$

6 санын 5 санына қосу.

$$\frac{3}{4}x=11$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{44}{3}$$

y-\frac{1}{4}x=-5 теңдеуінде \frac{44}{3} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-\frac{1}{4}\times \frac{44}{3}=-5$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{44}{3} санын -\frac{1}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y-\frac{11}{3}=-5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{11}{3} санын қосыңыз.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$