{l}{y+4x-6=0}{3x-y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+4x-6=0$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$y+4x=6$$

Теңдеудің екі жағынан 4x санын алып тастаңыз.

$$y=-4x+6$$

Басқа теңдеуде -4x+6 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

-1 санын -4x+6 санына көбейтіңіз.

$$4x-6+3x=7$$

4x санын 3x санына қосу.

$$7x-6=7$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$7x=13$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{13}{7}$$

y=-4x+6 теңдеуінде \frac{13}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

-4 санын \frac{13}{7} санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

6 санын -\frac{52}{7} санына қосу.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y және -y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

Қысқартыңыз.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -y+3x=7 мәнін -y-4x+6=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4x-3x+6=-7$$

-4x санын -3x санына қосу.

$$-7x+6=-7$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-7x=-13$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{13}{7}$$

-y+3x=7 теңдеуінде \frac{13}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

3 санын \frac{13}{7} санына көбейтіңіз.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{39}{7} санын алып тастаңыз.

$$-y=\frac{10}{7}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{10}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$