{l}{y+3x=56}{x+4y=34} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+3x=56$$

Теңдеудің екі жағынан 3x санын алып тастаңыз.

$$y=-3x+56$$

Басқа теңдеуде -3x+56 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 4y+x=34.

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

4 санын -3x+56 санына көбейтіңіз.

$$-12x+224+x=34$$

-12x санын x санына қосу.

$$-11x+224=34$$

Теңдеудің екі жағынан 224 санын алып тастаңыз.

$$-11x=-190$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{190}{11}$$

y=-3x+56 теңдеуінде \frac{190}{11} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

-3 санын \frac{190}{11} санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

56 санын -\frac{570}{11} санына қосу.

$$y=\frac{46}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+3x=56,4y+x=34$$

y және 4y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

Қысқартыңыз.

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4y+x=34 мәнін 4y+12x=224 мәнінен алып тастаңыз.

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

4y санын -4y санына қосу. 4y және -4y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12x-x=224-34$$

12x санын -x санына қосу.

$$11x=224-34$$

224 санын -34 санына қосу.

$$11x=190$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$x=\frac{190}{11}$$

4y+x=34 теңдеуінде \frac{190}{11} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{190}{11} санын алып тастаңыз.

$$4y=\frac{184}{11}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{46}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$