{l}{y+25x=45}{y+.30x=35} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { y + 25 x = 45 } \\ { y + .30 x = 35 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=\frac{100}{247}\approx 0.4048583$$

$$y = \frac{8615}{247} = 34\frac{217}{247} \approx 34.87854251$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+25x=45$$

Теңдеудің екі жағынан 25x санын алып тастаңыз.

$$y=-25x+45$$

Басқа теңдеуде -25x+45 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+0.3x=35.

$$-25x+45+0.3x=35$$

-25x санын \frac{3x}{10} санына қосу.

$$-24.7x+45=35$$

Теңдеудің екі жағынан 45 санын алып тастаңыз.

$$-24.7x=-10$$

Теңдеудің екі жағын да -24.7 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{100}{247}$$

y=-25x+45 теңдеуінде \frac{100}{247} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-25\times \frac{100}{247}+45$$

-25 санын \frac{100}{247} санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{2500}{247}+45$$

45 санын -\frac{2500}{247} санына қосу.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&25\\1&0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.3}{0.3-25}&-\frac{25}{0.3-25}\\-\frac{1}{0.3-25}&\frac{1}{0.3-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}&\frac{250}{247}\\\frac{10}{247}&-\frac{10}{247}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\35\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{247}\times 45+\frac{250}{247}\times 35\\\frac{10}{247}\times 45-\frac{10}{247}\times 35\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8615}{247}\\\frac{100}{247}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+25x=45,y+0.3x=35$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+0.3x=35 мәнін y+25x=45 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y+25x-0.3x=45-35$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25x-0.3x=45-35$$

25x санын -\frac{3x}{10} санына қосу.

$$24.7x=45-35$$

45 санын -35 санына қосу.

$$24.7x=10$$

Теңдеудің екі жағын да 24.7 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{100}{247}$$

y+0.3x=35 теңдеуінде \frac{100}{247} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+0.3\times \frac{100}{247}=35$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{100}{247} санын 0.3 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y+\frac{30}{247}=35$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{30}{247} санын алып тастаңыз.

$$y=\frac{8615}{247}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{8615}{247},x=\frac{100}{247}$$