{l}{x-y=3}{2x+3y=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+3$$

Басқа теңдеуде y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=19.

$$2\left(y+3\right)+3y=19$$

2 санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$2y+6+3y=19$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y+6=19$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$5y=13$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{13}{5}$$

x=y+3 теңдеуінде \frac{13}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{13}{5}+3$$

3 санын \frac{13}{5} санына қосу.

$$x=\frac{28}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=3,2x+3y=19$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+3y=19$$

Қысқартыңыз.

$$2x-2y=6,2x+3y=19$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+3y=19 мәнін 2x-2y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-2y-3y=6-19$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-3y=6-19$$

-2y санын -3y санына қосу.

$$-5y=6-19$$

6 санын -19 санына қосу.

$$-5y=-13$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{13}{5}$$

2x+3y=19 теңдеуінде \frac{13}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times \frac{13}{5}=19$$

3 санын \frac{13}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{39}{5}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{39}{5} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{56}{5}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{28}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{13}{5}$$