{l}{x-3y=2}{3x-7y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 2 } \\ { 3 x - 7 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-3y=2,3x-7y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-3y=2$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$x=3y+2$$

Басқа теңдеуде 3y+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-7y=4.

$$3\left(3y+2\right)-7y=4$$

3 санын 3y+2 санына көбейтіңіз.

$$9y+6-7y=4$$

9y санын -7y санына қосу.

$$2y+6=4$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$2y=-2$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

x=3y+2 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3\left(-1\right)+2$$

3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=-3+2$$

2 санын -3 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-3y=2,3x-7y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-7-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-7-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\times 2+\frac{3}{2}\times 4\\-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-3y=2,3x-7y=4$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 2,3x-7y=4$$

Қысқартыңыз.

$$3x-9y=6,3x-7y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-7y=4 мәнін 3x-9y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x-9y+7y=6-4$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y+7y=6-4$$

-9y санын 7y санына қосу.

$$-2y=6-4$$

6 санын -4 санына қосу.

$$-2y=2$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

3x-7y=4 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-7\left(-1\right)=4$$

-7 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$3x+7=4$$

Теңдеудің екі жағынан 7 санын алып тастаңыз.

$$3x=-3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-1$$