{l}{x-3=y}{37-3x=y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$x-3-y=0$$

Екі жағына 3 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$37-3x-y=0$$

Екі жағынан да 37 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-3x-y=-37$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$x=y+3$$

Басқа теңдеуде y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

-3 санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$-3y-9-y=-37$$

-3y санын -y санына қосу.

$$-4y-9=-37$$

Теңдеудің екі жағына да 9 санын қосыңыз.

$$-4y=-28$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=7$$

x=y+3 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=7+3$$

3 санын 7 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$x-3-y=0$$

Екі жағына 3 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$37-3x-y=0$$

Екі жағынан да 37 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-3x-y=-37$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$x-3-y=0$$

Екі жағына 3 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$x-y=3$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$37-3x-y=0$$

Екі жағынан да 37 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-3x-y=-37$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3x-y=-37 мәнін x-y=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$x+3x-y+y=3+37$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x+3x=3+37$$

x санын 3x санына қосу.

$$4x=3+37$$

3 санын 37 санына қосу.

$$4x=40$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=10$$

-3x-y=-37 теңдеуінде 10 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3\times 10-y=-37$$

-3 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$-30-y=-37$$

Теңдеудің екі жағына да 30 санын қосыңыз.

$$-y=-7$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=7$$