{l}{x-2y=-11}{3x+7y=32} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = - 11 } \\ { 3 x + 7 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-2y=-11$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$x=2y-11$$

Басқа теңдеуде 2y-11 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+7y=32.

$$3\left(2y-11\right)+7y=32$$

3 санын 2y-11 санына көбейтіңіз.

$$6y-33+7y=32$$

6y санын 7y санына қосу.

$$13y-33=32$$

Теңдеудің екі жағына да 33 санын қосыңыз.

$$13y=65$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=2y-11 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2\times 5-11$$

2 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=10-11$$

-11 санын 10 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\32\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\left(-11\right)+\frac{2}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-11\right)+\frac{1}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-2y=-11,3x+7y=32$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-11\right),3x+7y=32$$

Қысқартыңыз.

$$3x-6y=-33,3x+7y=32$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+7y=32 мәнін 3x-6y=-33 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x-6y-7y=-33-32$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-7y=-33-32$$

-6y санын -7y санына қосу.

$$-13y=-33-32$$

-33 санын -32 санына қосу.

$$-13y=-65$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=5$$

3x+7y=32 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+7\times 5=32$$

7 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$3x+35=32$$

Теңдеудің екі жағынан 35 санын алып тастаңыз.

$$3x=-3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$