{l}{x=7y+135}{y=4x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x = 7 y + 135 } \\ { y = 4 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-5$$

$$y=-20$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=135$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-7y=135$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$x=7y+135$$

Басқа теңдеуде 7y+135 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+y=0.

$$-4\left(7y+135\right)+y=0$$

-4 санын 7y+135 санына көбейтіңіз.

$$-28y-540+y=0$$

-28y санын y санына қосу.

$$-27y-540=0$$

Теңдеудің екі жағына да 540 санын қосыңыз.

$$-27y=540$$

Екі жағын да -27 санына бөліңіз.

$$y=-20$$

x=7y+135 теңдеуінде -20 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=7\left(-20\right)+135$$

7 санын -20 санына көбейтіңіз.

$$x=-140+135$$

135 санын -140 санына қосу.

$$x=-5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-5,y=-20$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=135$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&-\frac{7}{27}\\-\frac{4}{27}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 135\\-\frac{4}{27}\times 135\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-5,y=-20$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 7y мәнін қысқартыңыз.

$$x-7y=135$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$y-4x=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-7y=135,-4x+y=0$$

x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-4x-4\left(-7\right)y=-4\times 135,-4x+y=0$$

Қысқартыңыз.

$$-4x+28y=-540,-4x+y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -4x+y=0 мәнін -4x+28y=-540 мәнінен алып тастаңыз.

$$-4x+4x+28y-y=-540$$

-4x санын 4x санына қосу. -4x және 4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$28y-y=-540$$

28y санын -y санына қосу.

$$27y=-540$$

Екі жағын да 27 санына бөліңіз.

$$y=-20$$

-4x+y=0 теңдеуінде -20 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x-20=0$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$-4x=20$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-5,y=-20$$