{l}{x+y=9}{3x+y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$y = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+9$$

Басқа теңдеуде -y+9 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+y=2.

$$3\left(-y+9\right)+y=2$$

3 санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$-3y+27+y=2$$

-3y санын y санына қосу.

$$-2y+27=2$$

Теңдеудің екі жағынан 27 санын алып тастаңыз.

$$-2y=-25$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{2}$$

x=-y+9 теңдеуінде \frac{25}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{25}{2}+9$$

9 санын -\frac{25}{2} санына қосу.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\\frac{25}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=9,3x+y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+y=2 мәнін x+y=9 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-3x+y-y=9-2$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x-3x=9-2$$

x санын -3x санына қосу.

$$-2x=9-2$$

9 санын -2 санына қосу.

$$-2x=7$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{7}{2}$$

3x+y=2 теңдеуінде -\frac{7}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$3\left(-\frac{7}{2}\right)+y=2$$

3 санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{2}+y=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{21}{2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{25}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7}{2},y=\frac{25}{2}$$