{l}{x+y=780}{x-y=975} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 780 } \\ { x - y = 975 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{1755}{2} = 877\frac{1}{2} = 877.5$$

$$y = -\frac{195}{2} = -97\frac{1}{2} = -97.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=780,x-y=975$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=780$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+780$$

Басқа теңдеуде -y+780 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=975.

$$-y+780-y=975$$

-y санын -y санына қосу.

$$-2y+780=975$$

Теңдеудің екі жағынан 780 санын алып тастаңыз.

$$-2y=195$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{195}{2}$$

x=-y+780 теңдеуінде -\frac{195}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\left(-\frac{195}{2}\right)+780$$

-1 санын -\frac{195}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{195}{2}+780$$

780 санын \frac{195}{2} санына қосу.

$$x=\frac{1755}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=780,x-y=975$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\975\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 780+\frac{1}{2}\times 975\\\frac{1}{2}\times 780-\frac{1}{2}\times 975\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1755}{2}\\-\frac{195}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=780,x-y=975$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x-y=975 мәнін x+y=780 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+y+y=780-975$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+y=780-975$$

y санын y санына қосу.

$$2y=780-975$$

780 санын -975 санына қосу.

$$2y=-195$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{195}{2}$$

x-y=975 теңдеуінде -\frac{195}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-\frac{195}{2}\right)=975$$

-1 санын -\frac{195}{2} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{195}{2}=975$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{195}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{1755}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1755}{2},y=-\frac{195}{2}$$