{l}{x+y=78}{2x+4y=200} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 78 } \\ { 2 x + 4 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=56$$

$$y=22$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=78$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+78$$

Басқа теңдеуде -y+78 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+4y=200.

$$2\left(-y+78\right)+4y=200$$

2 санын -y+78 санына көбейтіңіз.

$$-2y+156+4y=200$$

-2y санын 4y санына қосу.

$$2y+156=200$$

Теңдеудің екі жағынан 156 санын алып тастаңыз.

$$2y=44$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=22$$

x=-y+78 теңдеуінде 22 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-22+78$$

78 санын -22 санына қосу.

$$x=56$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=56,y=22$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\200\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 78-\frac{1}{2}\times 200\\-78+\frac{1}{2}\times 200\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\22\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=56,y=22$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=78,2x+4y=200$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2y=2\times 78,2x+4y=200$$

Қысқартыңыз.

$$2x+2y=156,2x+4y=200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+4y=200 мәнін 2x+2y=156 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+2y-4y=156-200$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-4y=156-200$$

2y санын -4y санына қосу.

$$-2y=156-200$$

156 санын -200 санына қосу.

$$-2y=-44$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$y=22$$

2x+4y=200 теңдеуінде 22 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+4\times 22=200$$

4 санын 22 санына көбейтіңіз.

$$2x+88=200$$

Теңдеудің екі жағынан 88 санын алып тастаңыз.

$$2x=112$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=56$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=56,y=22$$