{l}{x+y=74}{40x+60y=3660} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=39$$

$$y=35$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=74$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+74$$

Басқа теңдеуде -y+74 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 40x+60y=3660.

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

40 санын -y+74 санына көбейтіңіз.

$$-40y+2960+60y=3660$$

-40y санын 60y санына қосу.

$$20y+2960=3660$$

Теңдеудің екі жағынан 2960 санын алып тастаңыз.

$$20y=700$$

Екі жағын да 20 санына бөліңіз.

$$y=35$$

x=-y+74 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-35+74$$

74 санын -35 санына қосу.

$$x=39$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=39,y=35$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=39,y=35$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

x және 40x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 40 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

Қысқартыңыз.

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 40x+60y=3660 мәнін 40x+40y=2960 мәнінен алып тастаңыз.

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

40x санын -40x санына қосу. 40x және -40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$40y-60y=2960-3660$$

40y санын -60y санына қосу.

$$-20y=2960-3660$$

2960 санын -3660 санына қосу.

$$-20y=-700$$

Екі жағын да -20 санына бөліңіз.

$$y=35$$

40x+60y=3660 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$40x+60\times 35=3660$$

60 санын 35 санына көбейтіңіз.

$$40x+2100=3660$$

Теңдеудің екі жағынан 2100 санын алып тастаңыз.

$$40x=1560$$

Екі жағын да 40 санына бөліңіз.

$$x=39$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=39,y=35$$