{l}{x+y=500}{25x+35y=1450} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=500$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+500$$

Басқа теңдеуде -y+500 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

25 санын -y+500 санына көбейтіңіз.

$$-25y+12500+35y=1450$$

-25y санын 35y санына қосу.

$$10y+12500=1450$$

Теңдеудің екі жағынан 12500 санын алып тастаңыз.

$$10y=-11050$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=-1105$$

x=-y+500 теңдеуінде -1105 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

-1 санын -1105 санына көбейтіңіз.

$$x=1105+500$$

500 санын 1105 санына қосу.

$$x=1605$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1605,y=-1105$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1605,y=-1105$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

x және 25x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 25 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Қысқартыңыз.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 25x+35y=1450 мәнін 25x+25y=12500 мәнінен алып тастаңыз.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

25x санын -25x санына қосу. 25x және -25x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y-35y=12500-1450$$

25y санын -35y санына қосу.

$$-10y=12500-1450$$

12500 санын -1450 санына қосу.

$$-10y=11050$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=-1105$$

25x+35y=1450 теңдеуінде -1105 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

35 санын -1105 санына көбейтіңіз.

$$25x-38675=1450$$

Теңдеудің екі жағына да 38675 санын қосыңыз.

$$25x=40125$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$x=1605$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1605,y=-1105$$