{l}{x+y=3}{10x=7+5y} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { 10 x = 7 + 5 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15} \approx 1.466666667$$

$$y = \frac{23}{15} = 1\frac{8}{15} \approx 1.533333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-5y=7$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=3,10x-5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=3$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+3$$

Басқа теңдеуде -y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x-5y=7.

$$10\left(-y+3\right)-5y=7$$

10 санын -y+3 санына көбейтіңіз.

$$-10y+30-5y=7$$

-10y санын -5y санына қосу.

$$-15y+30=7$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$-15y=-23$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{23}{15}$$

x=-y+3 теңдеуінде \frac{23}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{23}{15}+3$$

3 санын -\frac{23}{15} санына қосу.

$$x=\frac{22}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{15},y=\frac{23}{15}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-5y=7$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=3,10x-5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-10}&-\frac{1}{-5-10}\\-\frac{10}{-5-10}&\frac{1}{-5-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{15}\times 7\\\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{15}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{15}\\\frac{23}{15}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{22}{15},y=\frac{23}{15}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 5y мәнін қысқартыңыз.

$$10x-5y=7$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=3,10x-5y=7$$

x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$10x+10y=10\times 3,10x-5y=7$$

Қысқартыңыз.

$$10x+10y=30,10x-5y=7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x-5y=7 мәнін 10x+10y=30 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x+10y+5y=30-7$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+5y=30-7$$

10y санын 5y санына қосу.

$$15y=30-7$$

30 санын -7 санына қосу.

$$15y=23$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{23}{15}$$

10x-5y=7 теңдеуінде \frac{23}{15} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x-5\times \frac{23}{15}=7$$

-5 санын \frac{23}{15} санына көбейтіңіз.

$$10x-\frac{23}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{23}{3} санын қосыңыз.

$$10x=\frac{44}{3}$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{22}{15}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{22}{15},y=\frac{23}{15}$$