{l}{x+y=250}{x/19+y/10=19} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=250$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+250$$

Басқа теңдеуде -y+250 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

\frac{1}{19} санын -y+250 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

-\frac{y}{19} санын \frac{y}{10} санына қосу.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{250}{19} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{190} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{370}{3}$$

x=-y+250 теңдеуінде \frac{370}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

250 санын -\frac{370}{3} санына қосу.

$$x=\frac{380}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

x және \frac{x}{19} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{19} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 мәнін \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{x}{19} санын -\frac{x}{19} санына қосу. \frac{x}{19} және -\frac{x}{19} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{y}{19} санын -\frac{y}{10} санына қосу.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

\frac{250}{19} санын -19 санына қосу.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{190} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{370}{3}$$

\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 теңдеуінде \frac{370}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{370}{3} санын \frac{1}{10} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{37}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Екі жағын да 19 мәніне көбейтіңіз.

$$x=\frac{380}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$