{l}{x+y=100}{60x+70y=6300} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=70$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=100$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+100$$

Басқа теңдеуде -y+100 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 60x+70y=6300.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

60 санын -y+100 санына көбейтіңіз.

$$-60y+6000+70y=6300$$

-60y санын 70y санына қосу.

$$10y+6000=6300$$

Теңдеудің екі жағынан 6000 санын алып тастаңыз.

$$10y=300$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=30$$

x=-y+100 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-30+100$$

100 санын -30 санына қосу.

$$x=70$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=70,y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=70,y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

x және 60x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 60 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

Қысқартыңыз.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 60x+70y=6300 мәнін 60x+60y=6000 мәнінен алып тастаңыз.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

60x санын -60x санына қосу. 60x және -60x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$60y-70y=6000-6300$$

60y санын -70y санына қосу.

$$-10y=6000-6300$$

6000 санын -6300 санына қосу.

$$-10y=-300$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=30$$

60x+70y=6300 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$60x+70\times 30=6300$$

70 санын 30 санына көбейтіңіз.

$$60x+2100=6300$$

Теңдеудің екі жағынан 2100 санын алып тастаңыз.

$$60x=4200$$

Екі жағын да 60 санына бөліңіз.

$$x=70$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=70,y=30$$