{l}{x+5y=1}{3x+4y=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+5y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$x=-5y+1$$

Басқа теңдеуде -5y+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=4.

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

3 санын -5y+1 санына көбейтіңіз.

$$-15y+3+4y=4$$

-15y санын 4y санына қосу.

$$-11y+3=4$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$-11y=1$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{11}$$

x=-5y+1 теңдеуінде -\frac{1}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-5 санын -\frac{1}{11} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{11}+1$$

1 санын \frac{5}{11} санына қосу.

$$x=\frac{16}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

Қысқартыңыз.

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+4y=4 мәнін 3x+15y=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-4y=3-4$$

15y санын -4y санына қосу.

$$11y=3-4$$

3 санын -4 санына қосу.

$$11y=-1$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{11}$$

3x+4y=4 теңдеуінде -\frac{1}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

4 санын -\frac{1}{11} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4}{11} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{48}{11}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{16}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$