{l}{x+5=3y}{y-2=2x} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+5-3y=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x-3y=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2-2x=0$$

Екі жағына 2 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$y-2x=2$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-3y=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$x=3y-5$$

Басқа теңдеуде 3y-5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

-2 санын 3y-5 санына көбейтіңіз.

$$-6y+10+y=2$$

-6y санын y санына қосу.

$$-5y+10=2$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$-5y=-8$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{8}{5}$$

x=3y-5 теңдеуінде \frac{8}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

3 санын \frac{8}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

-5 санын \frac{24}{5} санына қосу.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+5-3y=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x-3y=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2-2x=0$$

Екі жағына 2 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$y-2x=2$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 3y мәнін қысқартыңыз.

$$x+5-3y=0$$

Екі жағынан да 5 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$x-3y=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2x мәнін қысқартыңыз.

$$y-2-2x=0$$

Екі жағына 2 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$y-2x=2$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+y=2 мәнін -2x+6y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-y=10-2$$

6y санын -y санына қосу.

$$5y=10-2$$

10 санын -2 санына қосу.

$$5y=8$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{8}{5}$$

-2x+y=2 теңдеуінде \frac{8}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{8}{5} санын алып тастаңыз.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$