{l}{x+3y=4}{4x+6y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+3y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$x=-3y+4$$

Басқа теңдеуде -3y+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+6y=7.

$$4\left(-3y+4\right)+6y=7$$

4 санын -3y+4 санына көбейтіңіз.

$$-12y+16+6y=7$$

-12y санын 6y санына қосу.

$$-6y+16=7$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$-6y=-9$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-3y+4 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3\times \frac{3}{2}+4$$

-3 санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{2}+4$$

4 санын -\frac{9}{2} санына қосу.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-3\times 4}&-\frac{3}{6-3\times 4}\\-\frac{4}{6-3\times 4}&\frac{1}{6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4x+4\times 3y=4\times 4,4x+6y=7$$

Қысқартыңыз.

$$4x+12y=16,4x+6y=7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+6y=7 мәнін 4x+12y=16 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+12y-6y=16-7$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-6y=16-7$$

12y санын -6y санына қосу.

$$6y=16-7$$

16 санын -7 санына қосу.

$$6y=9$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{2}$$

4x+6y=7 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+6\times \frac{3}{2}=7$$

6 санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$4x+9=7$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$4x=-2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$