{l}{x+3y=26}{7x-2y=44} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=8$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+3y=26$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$x=-3y+26$$

Басқа теңдеуде -3y+26 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-2y=44.

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

7 санын -3y+26 санына көбейтіңіз.

$$-21y+182-2y=44$$

-21y санын -2y санына қосу.

$$-23y+182=44$$

Теңдеудің екі жағынан 182 санын алып тастаңыз.

$$-23y=-138$$

Екі жағын да -23 санына бөліңіз.

$$y=6$$

x=-3y+26 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3\times 6+26$$

-3 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=-18+26$$

26 санын -18 санына қосу.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=8,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

Қысқартыңыз.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7x-2y=44 мәнін 7x+21y=182 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

7x санын -7x санына қосу. 7x және -7x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y+2y=182-44$$

21y санын 2y санына қосу.

$$23y=182-44$$

182 санын -44 санына қосу.

$$23y=138$$

Екі жағын да 23 санына бөліңіз.

$$y=6$$

7x-2y=44 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-2\times 6=44$$

-2 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$7x-12=44$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$7x=56$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=8,y=6$$