{l}{x+3y=14}{y=-4x+1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 14 } \\ { y = - 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$y+4x=1$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+3y=14$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$x=-3y+14$$

Басқа теңдеуде -3y+14 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+y=1.

$$4\left(-3y+14\right)+y=1$$

4 санын -3y+14 санына көбейтіңіз.

$$-12y+56+y=1$$

-12y санын y санына қосу.

$$-11y+56=1$$

Теңдеудің екі жағынан 56 санын алып тастаңыз.

$$-11y=-55$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-3y+14 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-3\times 5+14$$

-3 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=-15+14$$

14 санын -15 санына қосу.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$y+4x=1$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 14+\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}\times 14-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына 4x қосу.

$$y+4x=1$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+3y=14,4x+y=1$$

x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x+y=1$$

Қысқартыңыз.

$$4x+12y=56,4x+y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+y=1 мәнін 4x+12y=56 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+12y-y=56-1$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-y=56-1$$

12y санын -y санына қосу.

$$11y=56-1$$

56 санын -1 санына қосу.

$$11y=55$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=5$$

4x+y=1 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+5=1$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$4x=-4$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$