{l}{x+3=2y+1}{2x-1=y+1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = 2 y + 1 } \\ { 2 x - 1 = y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x+3-2y=1$$

Екі жағынан да 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x-2y=1-3$$

-2 мәнін алу үшін, 1 мәнінен 3 мәнін алып тастаңыз.

$$x-2y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=1+1$$

2 мәнін алу үшін, 1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=2$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-2y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$x=2y-2$$

Басқа теңдеуде -2+2y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-y=2.

$$2\left(2y-2\right)-y=2$$

2 санын -2+2y санына көбейтіңіз.

$$4y-4-y=2$$

4y санын -y санына қосу.

$$3y-4=2$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$3y=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=2y-2 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2\times 2-2$$

2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=4-2$$

-2 санын 4 санына қосу.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x+3-2y=1$$

Екі жағынан да 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x-2y=1-3$$

-2 мәнін алу үшін, 1 мәнінен 3 мәнін алып тастаңыз.

$$x-2y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=1+1$$

2 мәнін алу үшін, 1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=2$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2y мәнін қысқартыңыз.

$$x+3-2y=1$$

Екі жағынан да 3 мәнін қысқартыңыз.

$$x-2y=1-3$$

-2 мәнін алу үшін, 1 мәнінен 3 мәнін алып тастаңыз.

$$x-2y=-2$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$2x-1-y=1$$

Екі жағына 1 қосу.

$$2x-y=1+1$$

2 мәнін алу үшін, 1 және 1 мәндерін қосыңыз.

$$2x-y=2$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-2\right),2x-y=2$$

Қысқартыңыз.

$$2x-4y=-4,2x-y=2$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-y=2 мәнін 2x-4y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x-4y+y=-4-2$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y+y=-4-2$$

-4y санын y санына қосу.

$$-3y=-4-2$$

-4 санын -2 санына қосу.

$$-3y=-6$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=2$$

2x-y=2 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-2=2$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$2x=4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$