{l}{x+2y=5}{x+y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=5,x+y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+5$$

Басқа теңдеуде -2y+5 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=3.

$$-2y+5+y=3$$

-2y санын y санына қосу.

$$-y+5=3$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-y=-2$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=2$$

x=-2y+5 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times 2+5$$

-2 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-4+5$$

5 санын -4 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=5,x+y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{2}{1-2}\\-\frac{1}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+2\times 3\\5-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=5,x+y=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+y=3 мәнін x+2y=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+2y-y=5-3$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-y=5-3$$

2y санын -y санына қосу.

$$y=5-3$$

5 санын -3 санына қосу.

$$y=2$$

x+y=3 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2=3$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$