{l}{x+2y=16}{2x+3y=17} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-14$$

$$y=15$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=16$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+16$$

Басқа теңдеуде -2y+16 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=17.

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

2 санын -2y+16 санына көбейтіңіз.

$$-4y+32+3y=17$$

-4y санын 3y санына қосу.

$$-y+32=17$$

Теңдеудің екі жағынан 32 санын алып тастаңыз.

$$-y=-15$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=15$$

x=-2y+16 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times 15+16$$

-2 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$x=-30+16$$

16 санын -30 санына қосу.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=15$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-14,y=15$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

Қысқартыңыз.

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+3y=17 мәнін 2x+4y=32 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-3y=32-17$$

4y санын -3y санына қосу.

$$y=32-17$$

32 санын -17 санына қосу.

$$y=15$$

2x+3y=17 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times 15=17$$

3 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$2x+45=17$$

Теңдеудің екі жағынан 45 санын алып тастаңыз.

$$2x=-28$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-14,y=15$$