{l}{x+2y=15}{x-2y=-7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 15 } \\ { x - 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+15$$

Басқа теңдеуде -2y+15 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-2y=-7.

$$-2y+15-2y=-7$$

-2y санын -2y санына қосу.

$$-4y+15=-7$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$-4y=-22$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{2}$$

x=-2y+15 теңдеуінде \frac{11}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{11}{2}+15$$

-2 санын \frac{11}{2} санына көбейтіңіз.

$$x=-11+15$$

15 санын -11 санына қосу.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}\times 15-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=15,x-2y=-7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x-2y=-7 мәнін x+2y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x+2y+2y=15+7$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+2y=15+7$$

2y санын 2y санына қосу.

$$4y=15+7$$

15 санын 7 санына қосу.

$$4y=22$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{2}$$

x-2y=-7 теңдеуінде \frac{11}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-2\times \frac{11}{2}=-7$$

-2 санын \frac{11}{2} санына көбейтіңіз.

$$x-11=-7$$

Теңдеудің екі жағына да 11 санын қосыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=\frac{11}{2}$$