{l}{x+2y=10}{3y-2x=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+10$$

Басқа теңдеуде -2y+10 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

-2 санын -2y+10 санына көбейтіңіз.

$$4y-20+3y=5$$

4y санын 3y санына қосу.

$$7y-20=5$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$7y=25$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-2y+10 теңдеуінде \frac{25}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

-2 санын \frac{25}{7} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

10 санын -\frac{50}{7} санына қосу.

$$x=\frac{20}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+3y=5 мәнін -2x-4y=-20 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-3y=-20-5$$

-4y санын -3y санына қосу.

$$-7y=-20-5$$

-20 санын -5 санына қосу.

$$-7y=-25$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{7}$$

-2x+3y=5 теңдеуінде \frac{25}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

3 санын \frac{25}{7} санына көбейтіңіз.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{75}{7} санын алып тастаңыз.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{20}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$